飽きた

非負定値対称行列を非負の実数のように扱いたいのです.

いずれ書きたいこと.

$x > 1$なら$x > \frac{1}{x}$ですよね.
同様に, $A > I$なら
\[
A > A^{-1}
\]です.

$y = \frac{1}{x}$は$x>0$なら下に凸です.
下に凸とは.
$0 < a < 1 $のとき,
\[
f(ax + (1-a)y) < af(x) + (1-a)f(y)
\]
なることです.

正定値対称行列でも同様のことが言えて,
\[
(a A + (1-a)B)^{-1} < aA^{-1} + (1-a)B^{-1}
\]
です.

$y = x^2$は下に凸です.
正定値対称行列でも同様に,
\[
(aA + (1-a)B)^2 < aA^2 + (1-a)B^2
\]
です.

行列式の話になりますが,
$A$, $B > 0$なら
相加相乗平均の不等式
\[
\det \left(\frac{A+B}{2}\right) \geq \det(AB)
\]
が成立します.

また, 行列式の和について,
\[
\det (A+B) \geq \det A + \det B
\]
であり,
さらに少しキモいことが言えて, 行列式のミンコフスキー不等式
\[
\left(\det (A+B)\right)^{\frac{1}{n}} \geq \left(\det A \right)^{\frac{1}{n}} + \left(\det B\right) ^ {\frac{1}{n}}
\]
も言えます.

ブロック行列を考えます.
\[
H=\left[\begin{array}{cc}
A & B\\
B^* &D
\end{array}\right] > O
\]
なら
\[
\left(\det A \right) \left(\det D \right) > \left|\det B \right|^2
\]
です.

感想

こんなのいつ使うんですかね