線形数理要論 第2回
授業の最後に出てきた式を補足します.
間違っているところは直します.
問題
可逆な正方行列$A$とする。$A$の逆行列の$(i,j)$成分について,
\begin{align}
(A^{-1})_{ij} = \frac{\Delta_{ji}}{\det A}
\end{align}
が成り立つことの証明.
解答
次のようなブロック行列を考えます。
\begin{eqnarray*}
\det\left[\begin{array}{cc}
A & e_{j}\\
e_{i}^{t} & 0
\end{array}\right]
\end{eqnarray*}
$e_i$は, 第$i$成分が1, その他は0の縦ベクトルです.
ブロック逆行列の行列式についての公式
\[
\det\left[\begin{array}{cc}
A & B\\
C & D
\end{array}\right]=\det A\cdot\det(D-CA^{-1}B)
\]
を使います.
\begin{eqnarray*}
\det\left[\begin{array}{cc}
A & e_{j}\\
e_{i}^{t} & 0
\end{array}\right] & = & \det A\cdot\det(O-e_{i}^{t}A^{-1}e_{j})\\
& = & \det A\cdot(-(A^{-1})_{ij}) \\
& = & - \det A \cdot(A^{-1})_{ij}
\end{eqnarray*}
左辺をラプラス展開してみます。
\begin{eqnarray*}
\det\left[\begin{array}{cc}
A & e_{j}\\
e_{i}^{t} & 0
\end{array}\right] & = & \det\left[\begin{array}{cc}
A & e_{j}\\
0\cdots01\cdots & 0
\end{array}\right]\\
& = & (-1)^{i+n+1}\det\left[\begin{array}{cc}
A_{\hat{i}} & e_{j}\end{array}\right]\\
& = & (-1)^{i+n+1}\cdot(-1)^{(n-1)+j+1}\det A_{\hat{j}\hat{i}}\\
& = & (-1)^{2n} \cdot (-1) \cdot (-1)^{i+j}\det A _{\hat{j}\hat{i}}\\
& = & - \Delta _{ji}
\end{eqnarray*}
ここで,
$A_{\hat{i}}$は行列$A$から$i$列目を除いたもの,
$A_{\hat{j} \hat{i}}$は行列$A$から$j$行目, $i$列目を除いたものを表すことにしています。
また, $\Delta_{ij}$は$(i,j)$成分の余因子です.
2式より,
\begin{align}
-\det A \cdot (A^{-1})_{ij} = -\Delta _{ji}
\end{align}
なので,
\begin{align}
(A^{-1})_{ij} = \frac{\Delta_{ji}}{\det A}
\end{align}
