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メジャーリーグのデータ解析します

Cramerの公式を証明したい

Matrix Analysis読んでます.

Cramerの公式

行列$A$の$i$列目を列ベクトル$x$に置き換える操作を
\[
A\leftarrow ^i x
\]
と表すことにする.

このとき, 正方行列$A$とベクトル$b$に関する連立一次方程式$Ax = b$の解$x$について,
\[
x_i = \frac{1}{\det A} \det(A \leftarrow ^i b)
\]
が成り立つ.

証明

連立一次方程式$Ax = b$は
\[
A(I \leftarrow ^i x) = (A \leftarrow ^i b)
\]
と書き換えることができます.
これは, $i$列目だけ見れば$Ax = b$が成り立ち,
他のところはそのまま, という状況です.

両辺で$\det$をとってみると,
\begin{align*}
\det A \det (I \leftarrow ^i x) &= \det (A \leftarrow ^i b) \\
\det (I \leftarrow ^i x) &= \frac{1}{\det A} \det(A \leftarrow ^i b)
\end{align*}
となります.
左辺はブロック三角行列の行列式になるので, すぐに$x_i$だと分かります.
以上より, Cramerの公式
\[
x_i = \frac{1}{\det A} \det(A \leftarrow ^i b)
\]
が得られました.

感想

ラプラス展開なんてなかった.