3重対角行列の固有値と固有ベクトルの計算をします. ググってみても, 詳しい計算がまとまった記事が見つかりません. ここでは詳しく書きます. 問題 $n$次の3重対角行列$A$を考えます. \begin{align*} A = \left( \begin{array}{cccccc} b & c & 0 & \ldots &…

行列の固有値に関する定理, Gerschgorinの定理があります. スペル分かりません.Gerschgorin? Gershgorin? 2通り観測されます. 正しいほうが分かり次第, 修正します.内容を整理して, 図示して動画も作りたいと思います. Gershgorinの定理 弱い形から. Gershgo…

半正定値対称行列を非負の実数のように扱いたい...という話その1です.まずは大小関係を定義します. $\geq$という記号を行列に用いて, $A\geq O$を$A$が半正定値対称行列であることを表すことにします.対称行列$A$, $B$を持って来て, $A-B \geq O$とすると何…

Matrix Analysisを読んでいます. 間違っていたら直します. 主張 対称行列$A$, $B$の固有値を小さい順に並べた時, 先頭から$i$番目の固有値を$\lambda_i (A)$, $\lambda_i (B)$などと表すことにする.このとき, n次の半正定値対称行列$A$, $B$について, \[ \la…

Matrix Analysis読んでます. Cramerの公式 行列$A$の$i$列目を列ベクトル$x$に置き換える操作を \[ A\leftarrow ^i x \] と表すことにする.このとき, 正方行列$A$とベクトル$b$に関する連立一次方程式$Ax = b$の解$x$について, \[ x_i = \frac{1}{\det A} \d…

またHadamard積の話です. 経済周りの線形代数の本で出て来ました 主張 正定値対称行列のHadamard積は正定値対称行列. つまり, Hadamard積$\odot$を, \[ (A \odot B)_{ij} = a_{ij} b_{ij} \] と表すことにして, 正定値対称行列$A$, $B$について, そのHadamar…

問題 $m \times n$行列$A$と$n\times p$行列Bに関して, \[ \mathrm{rank} AB \geq \mathrm{rank} A + \mathrm{rank}B - n \] であることの証明 解答 ブロック行列を使った証明の練習です. 次のようなブロック行列を考えます. $I$は$n$次の単位行列です. \[ \…

授業の最後に出てきた式を補足します. 間違っているところは直します. 問題 可逆な正方行列$A$とする。$A$の逆行列の$(i,j)$成分について, \begin{align} (A^{-1})_{ij} = \frac{\Delta_{ji}}{\det A} \end{align} が成り立つことの証明. 解答 次のようなブ…

問題 $m \times n $行列$A$と$n \times m $行列$B$に関して, \begin{align} \det \left( I_m + AB \right) = \det \left( I_n + BA\right) \end{align} であることを示す. 解答 簡単な場合から考えます 正方行列の場合 $m = n$のとき, つまり$A$, $B$が正方…