線形数理要論 第4回

問題

$m \times n$行列$A$と$n\times p$行列Bに関して,
\[
\mathrm{rank} AB \geq \mathrm{rank} A + \mathrm{rank}B - n
\]
であることの証明

解答

ブロック行列を使った証明の練習です.
次のようなブロック行列を考えます.
$I$は$n$次の単位行列です.
\[
\left[\begin{array}{cc}
I & O\\
A & AB
\end{array}\right].
\]

まずはそのまま考えます.
\[
\text{rank}\left[\begin{array}{cc}
I & O\\
A & AB
\end{array}\right]=n+\text{rank}AB.
\]

左側のブロックに$-B$をかけて右側に足します.
\begin{eqnarray*}
\text{rank}\left[\begin{array}{cc}
I & O\\
A & AB
\end{array}\right] & = & \text{rank}\left[\begin{array}{cc}
I & {-}B\\
A & 0
\end{array}\right]\\
& \geq & \text{rank}A+\text{rank}B.
\end{eqnarray*}
よって,
\[
\mathrm{rank} AB \geq \mathrm{rank} A + \mathrm{rank}B - n
\]
となります.

感想

スマートですね.
こういう行列が思いつく大人になりたいです.