非負定値対称行列を非負の実数のように扱いたいのです.いずれ書きたいこと. $x > 1$なら$x > \frac{1}{x}$ですよね. 同様に, $A > I$なら \[ A > A^{-1} \]です. $y = \frac{1}{x}$は$x>0$なら下に凸です. 下に凸とは. $0 \[ f(ax + (1-a)y) \] なることです…

半正定値対称行列を非負の実数のように扱いたい...という話その1です.まずは大小関係を定義します. $\geq$という記号を行列に用いて, $A\geq O$を$A$が半正定値対称行列であることを表すことにします.対称行列$A$, $B$を持って来て, $A-B \geq O$とすると何…

Matrix Analysisを読んでいます. 間違っていたら直します. 主張 対称行列$A$, $B$の固有値を小さい順に並べた時, 先頭から$i$番目の固有値を$\lambda_i (A)$, $\lambda_i (B)$などと表すことにする.このとき, n次の半正定値対称行列$A$, $B$について, \[ \la…

Matrix Analysis読んでます. Cramerの公式 行列$A$の$i$列目を列ベクトル$x$に置き換える操作を \[ A\leftarrow ^i x \] と表すことにする.このとき, 正方行列$A$とベクトル$b$に関する連立一次方程式$Ax = b$の解$x$について, \[ x_i = \frac{1}{\det A} \d…

またHadamard積の話です. 経済周りの線形代数の本で出て来ました 主張 正定値対称行列のHadamard積は正定値対称行列. つまり, Hadamard積$\odot$を, \[ (A \odot B)_{ij} = a_{ij} b_{ij} \] と表すことにして, 正定値対称行列$A$, $B$について, そのHadamar…

覚えたばかりの公式を使いたいので, 使えそうな問題を探しました. Hadamardの不等式 $n$次の正方行列$A$について, 列ベクトルを考えて$A = [a_1 \ a_2 \ a_3 \cdots \ a_n]$とすると, \[ {|}\det A {|} \leq \|a_1\| \|a_2\| \cdots \|a_n\| \] が成り立つ. …

問題 $m \times n$行列$A$と$n\times p$行列Bに関して, \[ \mathrm{rank} AB \geq \mathrm{rank} A + \mathrm{rank}B - n \] であることの証明 解答 ブロック行列を使った証明の練習です. 次のようなブロック行列を考えます. $I$は$n$次の単位行列です. \[ \…