半正定値対称行列で不等式とは

線形代数

半正定値対称行列を非負の実数のように扱いたい...という話その1です.まずは大小関係を定義します. $\geq$という記号を行列に用いて, $A\geq O$を$A$が半正定値対称行列であることを表すことにします.対称行列$A$, $B$を持って来て, $A-B \geq O$とすると何…

2013-05-21

半正定値対称行列の和と固有値を計算したい

線形代数

Matrix Analysisを読んでいます. 間違っていたら直します. 主張対称行列$A$, $B$の固有値を小さい順に並べた時, 先頭から$i$番目の固有値を$\lambda_i (A)$, $\lambda_i (B)$などと表すことにする.このとき, n次の半正定値対称行列$A$, $B$について, \[ \la…

2013-05-12

Cramerの公式を証明したい

線形代数

Matrix Analysis読んでます. Cramerの公式行列$A$の$i$列目を列ベクトル$x$に置き換える操作を \[ A\leftarrow ^i x \] と表すことにする.このとき, 正方行列$A$とベクトル$b$に関する連立一次方程式$Ax = b$の解$x$について, \[ x_i = \frac{1}{\det A} \d…

2013-05-08

正定値対称行列のHadamard積は正定値対称行列

線形代数

またHadamard積の話です. 経済周りの線形代数の本で出て来ました主張正定値対称行列のHadamard積は正定値対称行列. つまり, Hadamard積$\odot$を, \[ (A \odot B)_{ij} = a_{ij} b_{ij} \] と表すことにして, 正定値対称行列$A$, $B$について, そのHadamar…

2013-05-04

ブロック行列の公式を使いたい

覚えたばかりの公式を使いたいので, 使えそうな問題を探しました. Hadamardの不等式 $n$次の正方行列$A$について, 列ベクトルを考えて$A = [a_1 \ a_2 \ a_3 \cdots \ a_n]$とすると, \[ {|}\det A {|} \leq \|a_1\| \|a_2\| \cdots \|a_n\| \] が成り立つ. …

2013-05-03

線形数理要論第4回

線形代数

問題 $m \times n$行列$A$と$n\times p$行列Bに関して, \[ \mathrm{rank} AB \geq \mathrm{rank} A + \mathrm{rank}B - n \] であることの証明解答ブロック行列を使った証明の練習です. 次のようなブロック行列を考えます. $I$は$n$次の単位行列です. \[ \…

2013-04-19

線形数理要論第2回

線形代数

授業の最後に出てきた式を補足します. 間違っているところは直します. 問題可逆な正方行列$A$とする。$A$の逆行列の$(i,j)$成分について, \begin{align} (A^{-1})_{ij} = \frac{\Delta_{ji}}{\det A} \end{align} が成り立つことの証明. 解答次のようなブ…

2013-04-14

qtmplsel.vimを導入

TeX vim

Vimプラグインの紹介をします。序文 TeXで何かを書くときにはテンプレートを利用すると思います。 TeXのプリアンプルは長いですからね。一例。 \documentclass[dvipdfmx]{beamer} \AtBeginDvi{\special{pdf:tounicode 90ms-RKSJ-UCS2}} \usetheme{Cambridg…

2013-04-08

線形数理要論予備試験第1問

線形代数雑記

問題 $m \times n $行列$A$と$n \times m $行列$B$に関して, \begin{align} \det \left( I_m + AB \right) = \det \left( I_n + BA\right) \end{align} であることを示す. 解答簡単な場合から考えます正方行列の場合 $m = n$のとき, つまり$A$, $B$が正方…

2013-03-18

Vimrcを晒す

vim 雑記

Vimrc Vimfiler, Vimshell, Unite は入れただけで殆ど使っていません。これから勉強します。ごめんなさい。 Bundleのままです。NeoBundleに移行していません。ごめんなさい。 " 色々 set set number set clipboard=unnnamed set clipboard=autoselect set s…

2013-03-13

ARC005 A問題大好き高橋くん

ARC Haskell

Haskellは光です。問題高橋君は自分が大好きなので、自分の評判を調べるために自分の名前が入っているツイートを調べたいと考えました。しかし彼のフォロー数は多いので、タイムラインを 1 つずつ確認して自分に関係あるつぶやきを探すのは面倒です。そこ…

2013-03-07

ARC003 問題B 逆さま辞書

Haskell ARC

やっぱHaskellって凄いわ！という話です。問題高橋君は友達とチャットで逆さしりとりをすることにしました。逆さしりとりとは、前の人が言った単語の頭文字で終わる単語を答えるしりとりです。しかし、高橋君は英単語に自信がないのでこっそり「さかさま…

2013-03-02

AOJ 0009

C++ AOJ Haskell

問題 n 以下の素数の数を数えろ、という内容。 Prime Number Write a program which reads an integer n (n ≤ 999999) and prints the number of prime numbers which are less than or equal to n. A prime number is a natural number which has exactly t…

2013-03-02

AOJ 0003

C++ AOJ

問題 GCD and LCM Write a program which computes the greatest common divisor (GCD) and the least common multiple (LCM) of given a and b (0 Input Input consists of several data sets. Each data set contains a and b separated by a single space…

2013-03-01

AOJ 0003

C++ AOJ

初心者のC++ 問題 Is it a Right Triangle? Write a program which judges wheather given length of three side form a right triangle. Print "YES" if the given sides (integers) form a right triangle, "NO" if not so. Input Input consists of sever…

2013-03-01

ARC003 問題A GPA計算

問題文高橋君はアメリカに留学しようと考えており、成績表を提出することになりました。アメリカ留学の成績表には、学力を測る指標であるGPAを表記する必要があります。 GPAとは各単位に対する評価(A,B,C,D,F)を点数に換算して平均した値で、点数への換算…

2013-02-26

Rで遺伝的アルゴリズム (その1)

R

序論寒いですね。遺伝的アルゴリズムを使いたくなりますね。しかしMatlabの遺伝的アルゴリズムパッケージは有償です。やっぱMatlabって糞だわ。300億円あったら買うのに。 C言語でゼロから実装しますか。そんなの面倒でやりたくないです。お金も頭も使わ…

2013-02-25

数学検定2級問題より

Haskell

内容は確かこんな感じ。 4で割ったあまりが1である素数は、自然数の平方の和で表せる。 $x^2 + y^2 = 1913$ となる自然数 $(x,y)$ の組を求めよ …？全然分からん。作業問題なんですかね。僕は大人なのでHaskellで解きます。 -- Toi4.hs main = do print $ …